قوانين الرياضيات للتحصيلي
قوانين الرياضيات للتحصيلي في جداول مرتبة: الجبر والدوال والهندسة والمثلثات والتفاضل والتكامل والإحصاء، مع صيغة كل قانون ومتى تستخدمه ومثال سريع يُحل ذهنياً.
قوانين الرياضيات للتحصيلي أقل مما تتوقع: بضع عشرات من القوانين تغطي ما يُسأل عنه في الجبر والدوال والهندسة وحساب المثلثات والتفاضل والتكامل والإحصاء. جمعناها هنا في جداول، لكل قانون صيغته ومتى تستخدمه ومثال سريع يُحل ذهنياً، لأن أرقام التحصيلي بسيطة عمداً والمطلوب هو اختيار القانون الصحيح لا طول الحساب. احفظ الجداول قسماً قسماً، ثم ثبّتها بالحل في نموذج تحصيلي رياضيات وبقية مكتبة اختصارات التحصيلي.
قوانين الجبر
| القانون | الصيغة | متى تستخدمه | مثال سريع |
|---|---|---|---|
| القانون العام | س = (−ب ± √(ب² − 4أجـ)) ÷ 2أ | حل المعادلة أس² + بس + جـ = 0 إذا تعذّر التحليل إلى عوامل | س² − 2س − 3 = 0: س = (2 ± √16) ÷ 2 = 3 أو −1 |
| المميّز وعدد الجذور | Δ = ب² − 4أجـ | معرفة طبيعة الجذور دون حل: Δ > 0 جذران حقيقيان مختلفان، Δ = 0 جذر مكرر، Δ < 0 لا جذور حقيقية | س² + 4س + 4 = 0: Δ = 16 − 16 = 0 فجذر واحد مكرر هو −2 |
| مجموع الجذرين وحاصل ضربهما | المجموع = −ب ÷ أ، حاصل الضرب = جـ ÷ أ | عندما يُطلب المجموع أو حاصل الضرب دون حل المعادلة، أو بناء معادلة من جذريها | س² − 5س + 6 = 0: المجموع 5 وحاصل الضرب 6 |
| قوانين الأسس | أ^م × أ^ن = أ^(م + ن)؛ أ^م ÷ أ^ن = أ^(م − ن)؛ (أ^م)^ن = أ^(م × ن)؛ أ^0 = 1؛ أ^(−ن) = 1 ÷ أ^ن | تبسيط المقادير الأسية، وحل المعادلات الأسية بتوحيد الأساس | 2^س = 32 فالحل س = 5، و3² × 3⁴ = 3⁶ = 729 |
| قوانين اللوغاريتمات | لو (س × ص) = لو س + لو ص؛ لو (س ÷ ص) = لو س − لو ص؛ لو س^ن = ن لو س؛ لو أ بالأساس أ = 1؛ لو 1 = 0 | تبسيط المقادير اللوغاريتمية، والتحويل بين الصورتين: أ^ص = س تكافئ لو س بالأساس أ = ص | لو 2 + لو 50 = لو 100 = 2، ولو₃ 81 = 4 لأن 3⁴ = 81 |
| المتتالية الحسابية | الحد النوني حن = أ + (ن − 1) د، والمجموع جن = (ن ÷ 2) × (أ + حن) | عندما يكون الفرق بين كل حدين متتاليين ثابتاً | 2، 5، 8، …: ح10 = 2 + 9 × 3 = 29، ومجموع أول 10 حدود = 5 × (2 + 29) = 155 |
| المتتالية الهندسية | الحد النوني حن = أ × ر^(ن − 1)، والمجموع جن = أ (ر^ن − 1) ÷ (ر − 1) | عندما تكون النسبة بين كل حدين متتاليين ثابتة | 3، 6، 12، …: ح5 = 3 × 2⁴ = 48، ومجموع أول 4 حدود = 3 × 15 ÷ 1 = 45 |
قوانين الدوال والهندسة التحليلية
| القانون | الصيغة | متى تستخدمه | مثال سريع |
|---|---|---|---|
| ميل المستقيم | م = (ص₂ − ص₁) ÷ (س₂ − س₁) | من نقطتين؛ المتوازيان ميلاهما متساويان، والمتعامدان حاصل ضرب ميليهما −1 | (1، 2) و(3، 8): م = 6 ÷ 2 = 3 |
| معادلة المستقيم | ص = م س + جـ، أو ص − ص₁ = م (س − س₁) | كتابة معادلة مستقيم من ميله ونقطة عليه، أو من ميله والجزء المقطوع من محور ص | ميل 2 ويمر بالنقطة (1، 3): ص − 3 = 2 (س − 1) أي ص = 2س + 1 |
| المسافة بين نقطتين | ف = √((س₂ − س₁)² + (ص₂ − ص₁)²) | طول قطعة مستقيمة، أو نصف قطر دائرة من مركزها ونقطة عليها | (0، 0) و(3، 4): ف = √(9 + 16) = 5 |
| نقطة المنتصف | ((س₁ + س₂) ÷ 2، (ص₁ + ص₂) ÷ 2) | منتصف قطعة مستقيمة، أو مركز دائرة من طرفي قطرها | (2، 4) و(6، 10): المنتصف (4، 7) |
| رأس القطع المكافئ | للدالة ص = أس² + بس + جـ: س الرأس = −ب ÷ 2أ، ثم عوّض لإيجاد ص | القيمة العظمى أو الصغرى لدالة تربيعية، ومحور التماثل س = −ب ÷ 2أ | ص = س² − 4س + 1: س = 4 ÷ 2 = 2، ص = 4 − 8 + 1 = −3، فالرأس (2، −3) |
| معادلة الدائرة | (س − أ)² + (ص − ب)² = نق² | المركز (أ، ب) ونصف القطر نق | مركز (1، −2) ونق = 3: (س − 1)² + (ص + 2)² = 9 |
قوانين الهندسة: المساحات والحجوم
| القانون | الصيغة | متى تستخدمه | مثال سريع |
|---|---|---|---|
| المنشور | الحجم = مساحة القاعدة × الارتفاع؛ المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع | متوازي المستطيلات والمكعب والمنشور الثلاثي | متوازي مستطيلات أبعاده 3 و4 و5: الحجم 60 |
| الأسطوانة | الحجم = π نق² ع؛ المساحة الجانبية = 2π نق ع؛ المساحة الكلية = 2π نق ع + 2π نق² | أي سؤال عن الأسطوانة أو خزان أسطواني | نق = 2 وع = 5: الحجم 20π |
| المخروط | الحجم = (1/3) π نق² ع؛ المساحة الجانبية = π نق ل، حيث ل الارتفاع الجانبي | لاحظ أن حجم المخروط ثلث حجم أسطوانة لها القاعدة والارتفاع نفسهما | نق = 3 وع = 4: الحجم 12π، ول = 5 بفيثاغورس فالمساحة الجانبية 15π |
| الكرة | الحجم = (4/3) π نق³؛ المساحة السطحية = 4π نق² | أي سؤال عن الكرة، ونصف الكرة يأخذ نصف القيمتين | نق = 3: الحجم 36π، والمساحة السطحية 36π |
| الهرم | الحجم = (1/3) × مساحة القاعدة × الارتفاع | الهرم المنتظم بقاعدة مربعة أو مثلثة | قاعدة مربعة ضلعها 6 وارتفاع 5: الحجم = (1/3) × 36 × 5 = 60 |
| نظرية فيثاغورس | الوتر² = الضلع الأول² + الضلع الثاني² | أي مثلث قائم الزاوية، وإيجاد الارتفاع الجانبي للمخروط والهرم | ضلعا القائمة 5 و12: الوتر 13 |
قوانين المثلثات
| القانون | الصيغة | متى تستخدمه | مثال سريع |
|---|---|---|---|
| النسب المثلثية الأساسية | جا = المقابل ÷ الوتر؛ جتا = المجاور ÷ الوتر؛ ظا = المقابل ÷ المجاور | المثلث القائم إذا عُلم ضلعان أو ضلع وزاوية | مثلث أضلاعه 3 و4 و5: للزاوية المقابلة للضلع 3 جا = 3/5 وجتا = 4/5 وظا = 3/4 |
| الزوايا الخاصة | جا 30° = 1/2، جا 45° = √2/2، جا 60° = √3/2؛ جتا 30° = √3/2، جتا 45° = √2/2، جتا 60° = 1/2؛ ظا 30° = √3/3، ظا 45° = 1، ظا 60° = √3 | الحساب دون آلة؛ تذكّر أن جا الزاوية = جتا متممتها | جا 30° + جتا 60° = 1 |
| المتطابقة الأساسية | جا²θ + جتا²θ = 1، ومنها ظا θ = جا θ ÷ جتا θ | إيجاد نسبة مثلثية من أخرى، أو تبسيط مقدار مثلثي | إذا كان جا θ = 3/5 في الربع الأول فإن جتا θ = 4/5 |
| قانون الجيب | أ ÷ جا أ = ب ÷ جا ب = جـ ÷ جا جـ | مثلث غير قائم عُلم فيه ضلع وزاويته المقابلة مع عنصر ثالث | ضلع طوله 8 يقابل زاوية 30°، والمطلوب الضلع المقابل لزاوية 90°: 8 ÷ (1/2) × 1 = 16 |
| قانون جيب التمام | أ² = ب² + جـ² − 2 ب جـ جتا أ | مثلث عُلم فيه ضلعان والزاوية المحصورة بينهما، أو الأضلاع الثلاثة لإيجاد زاوية | ب = 3 وجـ = 5 والزاوية بينهما 60°: أ² = 9 + 25 − 2 × 15 × (1/2) = 19 |
| مساحة المثلث بالجيب | المساحة = (1/2) ب جـ جا أ | إذا عُلم ضلعان والزاوية المحصورة بينهما | ضلعان 4 و6 والزاوية بينهما 30°: المساحة = (1/2) × 24 × (1/2) = 6 |
| الدرجات والراديان | 180° = π راديان | عندما تُعطى الزاوية بالراديان أو يُطلب التحويل | 60° = π/3، وπ/4 = 45° |
قوانين التفاضل والتكامل
| القانون | الصيغة | متى تستخدمه | مثال سريع |
|---|---|---|---|
| قاعدة القوة | إذا كانت ق(س) = س^ن فإن ق′(س) = ن س^(ن − 1)، ومشتقة الثابت صفر | أغلب أسئلة المشتقة في التحصيلي | ق(س) = 3س² + 2س: ق′(س) = 6س + 2 |
| مشتقة الجمع والطرح | (د ± هـ)′ = د′ ± هـ′ | اشتق كل حد على حدة | (س³ − 5س)′ = 3س² − 5 |
| مشتقة الضرب | (د × هـ)′ = د′ هـ + د هـ′ | اشتقاق حاصل ضرب دالتين دون فكّه | (س × (س + 1))′ = 1 × (س + 1) + س × 1 = 2س + 1 |
| مشتقة القسمة | (د ÷ هـ)′ = (د′ هـ − د هـ′) ÷ هـ² | الدوال الكسرية | (1 ÷ س)′ = (0 × س − 1 × 1) ÷ س² = −1 ÷ س² |
| قاعدة السلسلة | (د(هـ(س)))′ = د′(هـ(س)) × هـ′(س) | دالة داخل دالة مثل (2س + 1)³ | ((2س + 1)³)′ = 3 (2س + 1)² × 2 = 6 (2س + 1)² |
| ميل المماس | ميل المماس عند س = أ هو ق′(أ)، ومعادلته ص − ق(أ) = ق′(أ) (س − أ) | «أوجد ميل المماس» أو «معادلة المماس» عند نقطة معلومة | ق(س) = س²: الميل عند س = 3 هو 6، والمعادلة ص − 9 = 6 (س − 3) |
| التكامل بقاعدة القوة | ∫ س^ن دس = س^(ن + 1) ÷ (ن + 1) + جـ، حيث ن ≠ −1 | التكامل غير المحدد لكثيرات الحدود | ∫ (3س² + 2) دس = س³ + 2س + جـ |
| التكامل المحدد | ∫ من أ إلى ب ق(س) دس = ر(ب) − ر(أ)، حيث ر دالة مشتقتها ق | المساحة تحت المنحنى بين حدين | ∫ من 0 إلى 2 للدالة 2س: س² من 0 إلى 2 = 4 − 0 = 4 |
| النهايات | نها عند س → أ للدالة ق(س) = ق(أ) إذا كانت متصلة؛ وإذا ظهرت الصورة 0/0 فحلّل واختصر ثم عوّض | أسئلة النهايات الجبرية | نها عند س → 2 للمقدار (س² − 4) ÷ (س − 2) = نها (س + 2) = 4 |
قوانين الإحصاء والاحتمال
| القانون | الصيغة | متى تستخدمه | مثال سريع |
|---|---|---|---|
| المتوسط الحسابي | المتوسط = مجموع القيم ÷ عددها | «أوجد المتوسط»، أو إيجاد قيمة مفقودة إذا عُلم المتوسط | 4، 7، 9، 12: المتوسط 32 ÷ 4 = 8 |
| الوسيط | القيمة الوسطى بعد الترتيب، أو متوسط القيمتين الوسطيين إذا كان العدد زوجياً | «أوجد الوسيط»، ورتّب القيم أولاً دائماً | 3، 9، 1، 7: مرتبة 1، 3، 7، 9 فالوسيط (3 + 7) ÷ 2 = 5 |
| المنوال | القيمة الأكثر تكراراً، وقد يتعدد أو لا يوجد | «أوجد المنوال» | 2، 5، 5، 8، 9: المنوال 5 |
| التباين | ع² = مجموع (س − المتوسط)² ÷ ن | «أوجد التباين» لمجموعة بيانات كاملة | 2، 4، 6: المتوسط 4، التباين (4 + 0 + 4) ÷ 3 = 8/3 |
| الانحراف المعياري | ع = √التباين | يُطلب بعد التباين مباشرة، ووحدته وحدة البيانات نفسها | التباين 16 فالانحراف المعياري 4 |
| المدى | أكبر قيمة − أصغر قيمة | أبسط مقاييس التشتت | 3، 8، 15: المدى 12 |
| التباديل | ل(ن، ر) = ن! ÷ (ن − ر)! | عندما يهم الترتيب: ترتيب كتب، تكوين أعداد من أرقام | ل(5، 2) = 5! ÷ 3! = 20 |
| التوافيق | ق(ن، ر) = ن! ÷ (ر! × (ن − ر)!) | عندما لا يهم الترتيب: اختيار لجنة أو مجموعة | ق(5، 2) = 10 |
| الاحتمال | ح(أ) = عدد النواتج المطلوبة ÷ عدد النواتج الممكنة؛ ح(أ أو ب) = ح(أ) + ح(ب) − ح(أ وب)، وللحادثتين المتنافيتين ح(أ وب) = 0 | أسئلة النرد والبطاقات والكرات | احتمال ظهور عدد زوجي عند رمي نرد = 3/6 = 1/2 |
| الحادثتان المستقلتان | ح(أ وب) = ح(أ) × ح(ب) | رمي قطعة نقد مرتين، أو السحب مع الإرجاع | ظهور الصورة مرتين متتاليتين: (1/2) × (1/2) = 1/4 |
كيف تذاكر قوانين الرياضيات للتحصيلي
- قسم واحد في اليوم. احفظ جدول الجبر اليوم، والدوال غداً، وهكذا؛ ستة أقسام تعني أقل من أسبوع للمرور الأول، ثم أسبوع ثانٍ للتثبيت ضمن خطة مذاكرة التحصيلي.
- اقرأ عمود «متى تستخدمه» قبل الصيغة. معظم الأخطاء ليست في الحساب بل في اختيار قانون المتتالية الحسابية لمتتالية هندسية، أو التباديل بدل التوافيق. السؤال يخبرك بالقانون من كلماته: «الترتيب مهم» تباديل، «ضلعان والزاوية بينهما» جيب التمام.
- أعد حل عمود المثال بيدك مغطّى. المثال السريع في كل صف مصمّم ليُحل في سطرين؛ إن احتجت أكثر فراجع الطريقة لا الحساب.
- اربط القانون بالموضوعات المتكررة. راجع الأسئلة المتكررة في التحصيلي لتعرف أي الأقسام يستحق وقتاً أطول، وتأكد من توزيع الأقسام ووزن الرياضيات في التحصيلي العلمي كم سؤال.
- اختبر نفسك بالمهارة. بعد كل جدول حل أسئلته في أسئلة رياضيات التحصيلي المحلولة، ثم أكمل بنموذج كامل في نموذج تحصيلي رياضيات. القانون الذي أخطأت فيه مرتين يعود إلى بطاقة مراجعة يومية.
الأسئلة الشائعة
كم عدد قوانين الرياضيات للتحصيلي التي يجب حفظها؟
الجداول أعلاه تضم نحو 45 قانوناً موزعة على ستة أقسام، وهي تغطي ما يُسأل عنه عادة. لا تحتاج حفظها دفعة واحدة؛ قسم في اليوم مع حل أمثلته يكفي، ثم مراجعة أسبوعية للقوانين التي أخطأت فيها.
هل يسمح بالآلة الحاسبة في اختبار التحصيلي؟
لا، الآلة الحاسبة غير مسموح بها، ولذلك تُصمَّم الأرقام لتكون بسيطة. إذا وجدت نفسك تضرب أعداداً كبيرة فالأرجح أنك اخترت قانوناً غير مناسب أو فاتك اختصار.
هل تأتي أسئلة التفاضل والتكامل في التحصيلي؟
نعم، لكن في حدود قاعدة القوة والنهايات الجبرية وميل المماس والتكامل البسيط لكثيرات الحدود. لا تُطلب طرق التكامل المتقدمة ولا المشتقات المثلثية المركبة في الغالب.
ما الفرق بين قوانين رياضيات التحصيلي وقوانين كمي القدرات؟
القدرات يختبر الاستدلال بمهارات المرحلة المتوسطة (النسب والمساحات البسيطة)، أما التحصيلي فيختبر منهج الثانوية: اللوغاريتمات والمثلثات والمشتقة والمتتاليات. إن كنت ستقدّم الاختبارين فذاكر الجداول هنا للتحصيلي، وركّز على السرعة والحيل الحسابية للقدرات. اقرأ ما هو الاختبار التحصيلي لمعرفة الفرق كاملاً.
أين أجد قوانين الفيزياء والكيمياء للتحصيلي بالطريقة نفسها؟
في قوانين الفيزياء للتحصيلي وقوانين الكيمياء للتحصيلي، وللأحياء جداول مفاهيم في ملخص الأحياء للتحصيلي.
تابع من هنا
- مكتبة اختصارات التحصيلي — كل جداول القوانين والملخصات للمواد الأربع في صفحة واحدة.
- نموذج تحصيلي رياضيات — أسئلة على نمط الاختبار تطبّق فيها قوانين الجداول مع شرح كل إجابة.
- أسئلة رياضيات التحصيلي المحلولة — تدريب مصنّف بالمهارة: الجبر، الدوال، المثلثات، المشتقة، الاحتمال.
- قوانين الفيزياء للتحصيلي — جداول الفيزياء بالصيغة نفسها: القانون ومتى تستخدمه ومثال.
- الاختبار التحصيلي التجريبي المجاني — اختبار كامل في المواد الأربع لقياس مستواك بعد حفظ القوانين.
صفحات أخرى عن الاختبار التحصيلي
مكتبة اختصارات التحصيلي
مكتبة اختصارات التحصيلي من اتحداك: جداول قوانين الفيزياء والكيمياء والرياضيات، ملخص الأحياء، خطة مذاكرة بالتدرب التدريجي، وبنك الأسئلة المتكررة، مجاناً وبدون تسجيل.
ملخص الأحياء للتحصيلي
ملخص الأحياء للتحصيلي في جداول مراجعة: الخلية والانقسام والوراثة وDNA والبناء الضوئي والتنفس الخلوي وأجهزة الجسم والتصنيف والبيئة، مع خلاصة كل مفهوم وما يُسأل عنه عادة.
قوانين الفيزياء للتحصيلي
قوانين الفيزياء للتحصيلي كاملة في جداول: الحركة والقوى والطاقة والزخم والكهرباء والمغناطيسية والموجات والحرارة، كل قانون مع رموزه ووحداته ونوع السؤال الذي يستخدمه.
قوانين الكيمياء للتحصيلي وثوابتها
قوانين الكيمياء للتحصيلي وثوابتها في جداول: المول والتركيز والغازات والأحماض والقواعد والحسابات الكيميائية والاتزان، مع قيمة كل ثابت ونوع السؤال الذي يستخدمه.
الأسئلة المتكررة في التحصيلي
الأسئلة المتكررة في التحصيلي: 12 نمطاً يعود في كل اختبار، 3 لكل مادة، بسؤال أصلي على نمط الاختبار وطريقة حل سريعة والفخ الذي يصاحبه، مع تحديات تفاعلية تُصحَّح فوراً.
التحصيلي العلمي كم سؤال؟
التحصيلي العلمي كم سؤال؟ نحو 110 أسئلة في خمسة أقسام، 22 سؤالاً و25 دقيقة لكل قسم تقريباً، على الرياضيات والفيزياء والكيمياء والأحياء. جدول التوزيع والوقت لكل سؤال وطريقة إدارة الأقسام.
اختبار تحصيلي تجريبي مجاني
اختبار تحصيلي تجريبي مجاني بدون تسجيل: 8 أسئلة من المواد الأربع (رياضيات، فيزياء، كيمياء، أحياء) على نمط الاختبار التحصيلي، تُصحَّح فوراً مع الشرح، ثم تشخيص كامل مجاني.
خطة مذاكرة التحصيلي
خطة مذاكرة التحصيلي لأربعة أسابيع: جدول أسبوعي يدوّر الرياضيات والفيزياء والكيمياء والأحياء بالتدرب التدريجي، مع جلسة يومية من 90 دقيقة وروابط لقوانين كل مادة وأسئلتها المحلولة.
ما هو الاختبار التحصيلي؟
الاختبار التحصيلي شرح كامل للطالب: ما الذي يقيسه، مواده في المسار العلمي والنظري، توزيع الأسئلة على الصفوف الثلاثة، المدة والدرجة والمحاولات، وكيف تبدأ المذاكرة.